Question 1

问题解答

a) 将空气质量传感器放置在地球静止轨道而非太阳同步极地轨道的主要动机是什么？

地球静止轨道（GEO）和太阳同步极地轨道（SSO）各有优缺点，选择地球静止轨道的主要动机包括：

连续监测：地球静止轨道卫星可以固定在地球某一区域上空，实现对该区域的连续监测。这对于空气质量监测尤为重要，因为空气污染的变化通常是动态且快速的。
高时间分辨率：地球静止轨道卫星可以提供高时间分辨率的数据（如每小时甚至每分钟），而太阳同步轨道卫星通常每天只能覆盖同一区域1-2次。
区域覆盖：地球静止轨道卫星特别适合监测特定区域（如东亚），而太阳同步轨道卫星更适合全球覆盖。
实时数据传输：地球静止轨道卫星可以实时传输数据，便于快速响应和管理空气质量问题。

b) 计算地球静止轨道传感器的速度

地球静止轨道的高度为 $$ h = 35786 , \text{km} $$，地球质量为 $$ m_E = 5.974 \times 10^{24} , \text{kg} $$，地球半径为 $$ R_E = 6378 , \text{km} $$。

步骤：

计算轨道半径： $$ r = R_E + h = 6378 , \text{km} + 35786 , \text{km} = 42164 , \text{km} = 4.2164 \times 10^7 , \text{m} $$
根据万有引力公式，地球静止轨道的速度 $$ v $$ 满足： $$ \frac{GM_E}{r^2} = \frac{v^2}{r} $$ 其中 $$ G = 6.674 \times 10^{-11} , \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2} $$ 是万有引力常数。
解得速度： $$ v = \sqrt{\frac{GM_E}{r}} = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.974 \times 10^{24}}{4.2164 \times 10^7}} \approx 3074 , \text{m/s} $$

答案： 地球静止轨道传感器的速度约为 $$ 3074 , \text{m/s} $$。

c) 绘制GEMS光谱仪相对于地球的卫星观测几何图

GEMS光谱仪的观测几何如下：

观测范围：纬度 $$ 5^\circ $$ 到 $$ 45^\circ $$ N，经度 $$ 70^\circ $$ 到 $$ 140^\circ $$ E。
探测器阵列：2000个探测器连续排列，覆盖上述区域。
视角：探测器阵列的视场从 $$ 5^\circ $$ 到 $$ 45^\circ $$ N，覆盖地球的特定区域。

绘图说明：

地球静止轨道卫星位于赤道上空 $$ 35786 , \text{km} $$ 处，固定在某一点。
从卫星向地球的观测区域（$$ 5^\circ $$ 到 $$ 45^\circ $$ N，$$ 70^\circ $$ 到 $$ 140^\circ $$ E）绘制一个扇形区域。
探测器阵列的视场覆盖该扇形区域，形成一个连续的观测带。

d) 计算每个光谱的照明时间及GEMS像素的典型大小，并分析GEMS地面像素在哪个区域覆盖的地理面积最大

已知条件：

GEMS进行“步进-凝视”操作，共700步，覆盖30分钟。
数据下传时间为30分钟。
观测范围：纬度 $$ 5^\circ $$ 到 $$ 45^\circ $$ N，经度 $$ 70^\circ $$ 到 $$ 140^\circ $$ E。

步骤：

照明时间：
- 总时间为30分钟（$$ 1800 , \text{秒} $$）。
- 每个光谱的照明时间为： $$ t_{\text{照明}} = \frac{1800 , \text{秒}}{700} \approx 2.57 , \text{秒} $$
GEMS像素的典型大小：
- 经度范围：$$ 70^\circ $$ 到 $$ 140^\circ $$ E，共 $$ 70^\circ $$。
- 纬度范围：$$ 5^\circ $$ 到 $$ 45^\circ $$ N，共 $$ 40^\circ $$。
- 每个像素的经度大小为： $$ \Delta \lambda = \frac{70^\circ}{700} = 0.1^\circ $$
- 每个像素的纬度大小为： $$ \Delta \phi = \frac{40^\circ}{2000} = 0.02^\circ $$
地面像素覆盖的地理面积：
- 在赤道附近（低纬度），经度和纬度对应的地面距离较小，因此像素覆盖的地理面积较小。
- 在高纬度（如 $$ 45^\circ $$ N），经度对应的地面距离会缩短，因此像素覆盖的地理面积较大。

答案：

每个光谱的照明时间约为 $$ 2.57 , \text{秒} $$。
GEMS像素的典型大小为 $$ 0.1^\circ $$（经度）和 $$ 0.02^\circ $$（纬度）。
在纬度较高的区域（如 $$ 45^\circ $$ N），GEMS地面像素覆盖的地理面积最大。

总结

通过以上分析，我们理解了地球静止轨道传感器的优势，计算了其轨道速度，绘制了观测几何图，并分析了GEMS像素的照明时间和地理覆盖范围。

以下是 Exercise 3.1, Exercise 3.2, Exercise 3.3, 和 Exercise 3.4 的答案，用 LaTeX 格式生成，公式用 $ 分隔。

Exercise 3.1 Solid angle of the Moon

a) 计算满月反射辐射的立体角

已知：

地月距离 $d = 384000 , \text{km}$
月球半径 $r = 1737 , \text{km}$

立体角公式： $$ \Omega = \frac{A}{d^2} $$ 其中 $A$ 是月球表观面积，$A = \pi r^2$。

计算： $$ \Omega = \frac{\pi r^2}{d^2} = \frac{\pi (1737 \times 10^3)^2}{(384000 \times 10^3)^2} \approx 6.42 \times 10^{-5} , \text{sr} $$

答案： 满月的立体角约为 $6.42 \times 10^{-5} , \text{sr}$。

b) 月亮和太阳在天空中哪个看起来更大？

已知：

太阳的立体角为 $6.8 \times 10^{-5} , \text{sr}$
月亮的立体角为 $6.42 \times 10^{-5} , \text{sr}$

答案： 太阳的立体角略大于月亮，因此太阳在天空中看起来更大。

c) 计算GEMS传感器的立体角

根据 Exercise 1.2 的信息，GEMS传感器的立体角为： $$ \Omega_{\text{GEMS}} = \text{待补充} $$

Exercise 3.2 Short questions

光辐照度的单位是： (d) $J , s^{-1} , m^{-2}$
预测距离光源0.5米处的辐照度 已知：
- 距离 $r_1 = 0.2 , \text{m}$，辐照度 $I_1 = 700 , \text{W} , \text{m}^{-2}$
- 距离 $r_2 = 0.5 , \text{m}$
辐照度与距离的平方成反比： $$ I_2 = I_1 \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = 700 \left(\frac{0.2}{0.5}\right)^2 = 112 , \text{W} , \text{m}^{-2} $$
结论： 卫星遥感中，辐照度随距离的变化会影响大气成分的测量精度。
观察三个相同立体角的区域，报告哪个区域提供最高的辐射亮度 答案： 辐射亮度取决于物体的温度和反射特性，通常较亮或较热的物体提供更高的辐射亮度。
地球的有效温度计算 解释： 地球吸收72%的太阳辐射，但假设其发射为黑体是合理的，因为地球的热辐射主要由其温度决定，而非吸收率。

Exercise 3.3 Physical structure of the Earth’s atmosphere

a) 大气压力随高度的变化

压力 $p$ 随高度 $z$ 的增加而指数下降。
相互作用区域： 辐射最可能在对流层和平流层与大气相互作用。

b) 大气温度随高度的变化

温度剖面特征：
- 对流层：温度随高度降低。
- 平流层：温度随高度增加。
- 中间层：温度随高度降低。
- 热层：温度随高度增加。

c) 计算两层大气的总辐射

已知：

地表温度 $T_1 = 290 , \text{K}$
12 km 处温度 $T_2 = 220 , \text{K}$

辐射公式： $$ I = \sigma T^4 $$ 其中 $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} , \text{W} , \text{m}^{-2} , \text{K}^{-4}$。

计算： $$ I_1 = \sigma (290)^4 \approx 401 , \text{W} , \text{m}^{-2} $$ $$ I_2 = \sigma (220)^4 \approx 136 , \text{W} , \text{m}^{-2} $$ 总辐射： $$ I_{\text{total}} = I_1 + I_2 \approx 537 , \text{W} , \text{m}^{-2} $$

辐射方向： 辐射向上发射。

最大辐射波长： 根据 Wien’s Law： $$ \lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T} $$ 其中 $b = 2898 , \mu\text{m} , \text{K}$。

计算：

地表：$\lambda_{\text{max}} = \frac{2898}{290} \approx 10 , \mu\text{m}$
12 km 处：$\lambda_{\text{max}} = \frac{2898}{220} \approx 13.2 , \mu\text{m}$

d) 卫星仪器不可行的原因

大气对辐射的吸收和散射会影响测量精度。
两层大气的辐射可能重叠，难以区分。

Exercise 3.4 Infrared sensor in space

a) 预测传感器测量的辐射

已知：

波长 $\lambda = 10 , \mu\text{m}$
表面温度 $T = 300 , \text{K}$

根据 Planck’s Law，辐射强度为： $$ I_{\lambda} \approx 10 , \text{W} , \text{m}^{-2} , \mu\text{m}^{-1} $$

b) 10 µm 是否适合测量 300 K 的温度？

根据 Wien’s Law： $$ \lambda_{\text{max}} = \frac{2898}{300} \approx 9.66 , \mu\text{m} $$

结论： $10 , \mu\text{m}$ 接近峰值波长，是测量 300 K 温度的合适选择。

Exercise 4.2 Ozone Absorption 完整解答

a) 为什么臭氧在Hartley波段的吸收主要发生在平流层和中间层？

物理解释

臭氧在Hartley波段（200-300 nm）的吸收主要发生在平流层和中间层，原因如下：

吸收特性：臭氧在Hartley波段的吸收截面非常大（高达 $10^{-17} , \text{cm}^2$），这意味着紫外辐射在进入大气层后会被臭氧强烈吸收。
大气层结构：平流层和中间层是臭氧浓度最高的区域，尤其是平流层的臭氧层（Ozone Layer）。
辐射衰减：由于Hartley波段的吸收非常强，紫外辐射在穿过平流层和中间层后几乎完全被吸收，无法到达对流层和地面。

结论

臭氧在Hartley波段的吸收主要发生在平流层和中间层，因为这里的臭氧浓度高，且紫外辐射在此被强烈吸收。

b) 计算光学深度（Optical Depth）和透射率（Transmission）

已知条件

臭氧总量：300 Dobson Units (DU)，$1 , \text{DU} = 2.69 \times 10^{16} , \text{molecules/cm}^2$。
吸收截面（Cross-section）：
- 255 nm: $1141 \times 10^{-20} , \text{cm}^2$
- 290 nm: $149 \times 10^{-20} , \text{cm}^2$
- 320 nm: $3.5 \times 10^{-20} , \text{cm}^2$

计算公式

光学深度（Optical Depth, $\tau$）：

$$ \tau = \sigma \cdot N $$ 其中：

$\sigma$ 是吸收截面，
$N$ 是臭氧柱浓度（molecules/cm²）。

透射率（Transmission, $T$）： $$ T = e^{-\tau} $$

计算步骤

计算臭氧柱浓度 $N$： $$[ N = 300 , \text{DU} \times 2.69 \times 10^{16} , \text{molecules/cm}^2 = 8.07 \times 10^{18} , \text{molecules/cm}^2 $$
计算光学深度 $\tau$：
- 255 nm: $$ \tau = 1141 \times 10^{-20} , \text{cm}^2 \times 8.07 \times 10^{18} , \text{molecules/cm}^2 = 92.1 $$
- 290 nm: $$ \tau = 149 \times 10^{-20} , \text{cm}^2 \times 8.07 \times 10^{18} , \text{molecules/cm}^2 = 12.0 $$
- 320 nm: $$ \tau = 3.5 \times 10^{-20} , \text{cm}^2 \times 8.07 \times 10^{18} , \text{molecules/cm}^2 = 0.282 $$
计算透射率 $T$：
- 255 nm: $$ T = e^{-92.1} \approx 0 $$
- 290 nm: $$ T = e^{-12.0} \approx 6.1 \times 10^{-6} $$
- 320 nm: $$ T = e^{-0.282} \approx 0.754 $$

结果总结

波长 (nm)	光学深度 ($\tau$)	透射率 ($T$)
255	92.1	$\approx 0$
290	12.0	$6.1 \times 10^{-6}$
320	0.282	0.754

c) 学生对3个波长的选择是否合理？

分析

255 nm：
- 光学深度极大（$\tau = 92.1$），透射率几乎为0。
- 不适合测量，因为几乎无信号到达地面。
290 nm：
- 光学深度较大（$\tau = 12.0$），透射率极低（$6.1 \times 10^{-6}$）。
- 信号非常弱，测量难度大。
320 nm：
- 光学深度较小（$\tau = 0.282$），透射率较高（0.754）。
- 适合测量，因为信号较强且易于检测。

结论

学生的波长选择中，320 nm 是最适合的，而 255 nm 和 290 nm 由于吸收太强，不适合地面测量。

d) 计算地面仪器的辐射测量精度

已知条件

臭氧层厚度变化范围：50-500 DU。
要求臭氧反演精度：1 DU。
选择 320 nm 作为测量通道（透射率 $T = 0.754$）。

计算公式

光学深度与臭氧总量的关系： $$ \tau = \sigma \cdot N $$ 其中 $N$ 是臭氧柱浓度（molecules/cm²）。
透射率与光学深度的关系： $$ T = e^{-\tau} $$
臭氧总量变化对透射率的影响： $$ \Delta T = T \cdot \Delta \tau $$ 其中 $\Delta \tau = \sigma \cdot \Delta N$。

计算步骤

计算1 DU对应的光学深度变化 $\Delta \tau$： $$ \Delta \tau = 3.5 \times 10^{-20} , \text{cm}^2 \times 2.69 \times 10^{16} , \text{molecules/cm}^2 = 9.42 \times 10^{-4} $$
计算透射率变化 $\Delta T$： $$ \Delta T = 0.754 \times 9.42 \times 10^{-4} = 7.10 \times 10^{-4} $$
辐射测量精度：
- 仪器需要能够检测到透射率变化 $7.10 \times 10^{-4}$。

结论

地面仪器在 320 nm 通道的辐射测量精度需要达到 $7.10 \times 10^{-4}$，才能满足臭氧反演精度1 DU的要求。

总结

a) 臭氧在Hartley波段的吸收主要发生在平流层和中间层，因为这里的臭氧浓度高且紫外辐射被强烈吸收。
b) 计算了三个波长的光学深度和透射率，结果显示320 nm最适合测量。
c) 320 nm是唯一适合的波长，255 nm和290 nm吸收太强，不适合地面测量。
d) 地面仪器在320 nm通道的辐射测量精度需要达到 $7.10 \times 10^{-4}$，以满足1 DU的臭氧反演精度要求。